Approximation des fonctions (Méthode de TCHEBYCHEV) :

La méthode traite avec des polynômes uniquement défini sur l'intervale [-1;1]
alors que la fonction a étudier est sur l'intervale [a;b].
Toute variable x de ce dernier correspondra une variable v comprise entre -1 et 1,
par transformation afine suivante :

	2 * (x - a)
v =
	(b - a) - 1

L'idée de Tchebychev est d'aprocher le calcule de f(x) par la formule :

f(x) = ∑ⁿ_k=0 { A_k * T_k(v) }

T_k(v) étant un polynôme de Tchebychev de degré k en v, ainsi défini :

T₀(v) = 1
T₁(v) = v
T₂(v) = 2 v ² - 1
T₃(v) = 4 v ³ - 3 v
T₄(v) = 8 v ⁴ - 8 v ² + 1
T₅(v) = 16 v ⁵ - 20 v ³ + 5 v
T₆(v) = 32 v ⁶ - 48 v ⁴ + 18 v ² - 1
T₇(v) = 64 v ⁷ - 112 v ⁵ + 56 v ³ - 7 v
T₈(v) = 128 v ⁸ - 256 v ⁶ + 160 v ⁴ - 32 v ² + 1
T₉(v) = 256 v ⁹ - 576 v ⁷ + 432 v ⁵ - 120 v ³ + 9 v
T₁₀(v) = 512 v ¹⁰ - 1280 v ⁸ + 1120 v ⁶- 400 v ⁴ + 50 v ² - 1

T_k(v) = 2 * v * T_[k-1](v) - T_[k-2](v)

Ces polynômes ont en effet des propriétés particulières qui les rendent propices à nôtre travail.
Ansi de tout les polynômes de degré k, T_k(v) est le polynôme qui sur [-1;1] s'écarte le moins de 0.

Autres propriété particulière, en posant :

θ = Arcos(v) , Cos(k * θ) = T_k(v)
T_k(v) = Cos[k * Arcos(v)]

Les coefficients A_k sont ainsi déduit :

A_k(x) =

(n+1)

* ∑ⁿ_i=0 { f(x_i) * T_k(v_i) }

Les v_i étant régulièrement situés entre -1 et 1, par la loi de répartition :

	π * ( 2 * i + 1 )
v_i = Cos[		]
	2 * ( N + 1 )

Ce qui donne :

	k * π * ( 2 * i + 1 )
T_k(v) = Cos[		]
	2 * ( N + 1 )

Quand aux f(x_i) , avec x_i = a + (1 + v_i) * (b - a) / 2

Le nombre n+1 d'échantillons f(x_i) sera un facteur important dans la précision
avec laquelle on approchera f(x), car l'erreur maximale produite ne sera pas
supérieur en valeur absolue à :

| f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) |

2ⁿ * (n+1)!

où f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) représente la dérivée d'ordre (n+1), si elle existe.

Il convient de remarquer que contrairement au méthodes dites d'interpolation,
la fonction ∑ⁿ_k=0 { A_k * T_k(v) } ne coïncide généralement pas aux point v_i ,
avec la fonction f(x_i).
On se contente simplement de minimiser l'écart | f(x) - ∑ⁿ_k=0 { A_k * T_k(v) } |

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